Keine Fraktale ohne Mandelbrot

Fraktale sind mathematische Brüche, oder auch Bruchstücke. Sie entstammen einem Ganzen (zum Beispiel der sogenannten Mandelbrot-Menge) und lassen bei starker Vergrößerung im Detail immer wieder die ursprüngliche ganze Form in originaler oder leicht veränderter Weise erkennen. Dies nennt man das Prinzip der Selbstähnlichkeit. Die grafische Abbildung der mathematischen Mandelbrot-Menge bezeichnet man häufig auch als "Apfelmännchen" wegen ihrer Ähnlichkeit zu einer Figur im Apfel-Format. Mehr Informationen zu Benoît Mandelbrot und den Fraktalen findest Du unterhalb der folgenden Grafik.

Einige interessante Videos zu den Fraktalen und ihrer Selbstähnlichkeit, die man beim Heranzoomen erkennen kann, findest Du im Untermenü in der linken Spalte. Dort kannst Du die verschiedenen Videos aufrufen. Viel Spaß beim Betrachten wünsche ich Dir!

Details für Wissbegierige

Die Mandelbrot-Menge (1), benannt nach Benoît Mandelbrot, ist die Menge der komplexen Zahlen c, für welche die durch die Iteration (den Prozess mehrfachen Wiederholens gleicher oder ähnlicher Handlungen zur Annäherung an eine Lösung oder an ein bestimmtes Ziel)

definierte Folge beschränkt ist.

Geometrisch als Teil der komplexen Zahlenebene interpretiert, ist die Mandelbrot-Menge ein Fraktal, das im allgemeinen Sprachgebrauch oft und gerne Apfelmännchen genannt wird. Bilder davon können erzeugt werden, indem ein Pixelraster auf die Zahlenebene gelegt und so jedem Pixel ein Wert von c zugeordnet wird. Wenn die Folge mit dem entsprechenden c beschränkt ist, es also zur Mandelbrotmenge gehört, wird das Pixel z. B. schwarz gefärbt, und ansonsten weiß.
Wird stattdessen die Farbe danach bestimmt, wie viele Folgenelemente berechnet werden müssen, bis feststeht, dass die Folge nicht beschränkt ist, entsteht ein sog. Geschwindigkeitsbild der Mandelbrot-Menge: Die Farbe eines jeden Pixels gibt an, wie schnell die Folge mit dem betreffenden Wert von c gegen Unendlich strebt.

Monsieur Mandelbrot

Benoît B. Mandelbrot (2) (* 20. November 1924 in Warschau; † 14. Oktober 2010 in Cambridge, Massachusetts) war ein französisch-US-amerikanischer Mathematiker.

Mandelbrot leistete Beiträge zu einem breiten Spektrum mathematischer Probleme, einschließlich der theoretischen Physik, der Finanzmathematik und der Chaosforschung. Am bekanntesten aber wurde er als Vater der fraktalen Geometrie. Er beschrieb die nach ihm benannte Mandelbrot-Menge und prägte den Begriff „fraktal“. Mandelbrot trug selbst stark zum Bekanntwerden seiner Arbeiten bei, indem er Bücher schrieb und Vorlesungen hielt, die für die Allgemeinheit bestimmt waren.

Unnatürliche mathematische Absonderlichkeiten

Obwohl Mandelbrot den Begriff fraktal prägte, wurden einige der in "The Fractal Geometry of Nature" dargestellten Objekte schon früher von Mathematikern beschrieben. Vor Mandelbrot wurden sie allerdings eher als unnatürliche mathematische Absonderlichkeiten angesehen. Es war Mandelbrots Verdienst, die fraktale Geometrie für die Beschreibung realer Objekte anzuwenden, deren „raue“, nicht durch einfache Idealisierungen beschreibbare Objekte sich bis dahin der wissenschaftlichen Untersuchung entzogen. Er zeigte, dass all diese Objekte bestimmte Eigenschaften gemeinsam haben, wie die Selbstähnlichkeit und oft eine nicht-ganzzahlige Dimension.

Beispiele aus der Natur

Beispiele natürlicher Fraktale sind die Formen von Bergen, Küstenlinien und Flüssen, Verästelungen von Pflanzen und Gewächsen (z. B. beim Blumenkohl), Blutgefäßen und Lungenbläschen und die Verteilung von Sternhaufen in Galaxien. Fraktale Strukturen finden sich auch in quantitativen Beschreibungen menschlichen Schaffens und Handelns, etwa in der Musik, der Malerei und der Architektur. Mandelbrot war daher der Auffassung, dass Fraktale viel eher der intuitiven Erfassung zugänglich sind als die künstlich geglätteten Idealisierungen der traditionellen euklidischen Geometrie:

Ein Zitat von Mandelbrot

„Wolken sind keine Kugeln, Berge keine Kegel, Küstenlinien keine Kreise. Die Rinde ist nicht glatt – und auch der Blitz bahnt sich seinen Weg nicht gerade.“ Mandelbrot: "The Fractal Geometry of Nature".

Mandelbrot wurde als Visionär und als unabhängiger Geist (engl. „Maverick“) bezeichnet. Sein allgemeinverständlicher und leidenschaftlicher Schreibstil und seine Betonung bildlicher geometrischer Anschauung machten insbesondere sein Buch "The Fractal Geometry of Nature" auch für Nichtwissenschaftler zugänglich. Das Buch löste ein breites öffentliches Interesse an Fraktalen und Chaostheorie aus.

Quellen:

(1) Wikipedia (dem Artikel "Mandelbrot-Menge" am 31.05.2021 entnommen und selbst gekürzt und ergänzt)
(2) Wikipedia (dem Artikel "Benoît Mandelbrot" am 31.05.2021 entnommen und selbst gekürzt und ergänzt)